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URN: urn:nbn:de:kobv:83-opus-21451
URL: http://opus.kobv.de/tuberlin/volltexte/2009/2145/
Rörig, Thilo
polytopes with interesting combinatorial and geometric properties. Using
projections of high-dimensional polytopes, we obtain particular embeddings of
surfaces. Furthermore we develop a new method that allows us to show, that not
all of the surfaces constructed or skeleta of particular polytopes may be
embedded in low-dimensional space using projections.
After a short introduction of the basic definitions in Chapter 1 we introduce
two new methods in Chapter 2. In Section 2.1 we explain a method that allows
us to prove that certain subcomplexes of high-dimensional polytopes cannot be
preserved by certain projections: We associate a simplicial complex embedded in
a polytopal sphere to the complex that should be preserved under projection. By
showing that this associated complex does not embed into any sphere of the
appropriate dimension we deduce that the chosen subcomplex cannot survive the
projection. In Section 2.2 we describe a new method to parametrize the
realization space of a simple polytope. Using this parametrization we obtain
lower bounds on the dimensions of the realization spaces of polytopes and
subcomplexes that are obtained via projections of simple polytopes.
In Chapter 3 we analyze the projectability of polytope skeleta. The starting
point of this investigation is the observation, that there exists no realization
of the product of two triangles such that a projection to the plane preserves
all 9 vertices. Using the method of Section 2.1 we generalize this result to
arbitrary skeleta of products of simplices and products of polygons. These
results complement previous work of Ziegler (2004) and Sanyal & Ziegler (2007)
on products of polygons.
We start Chapter 4 by defining the wedge product of two polytopes. The
2-skeleta of the wedge products of p-gons and a (q-1)-simplices contain
regular surfaces of type {p,2q}, i.e. all faces are p-gons and all
vertices have degree 2q. This family of surfaces comprises known families of
Coxeter (1937) and McMullen, Schulz & Wills (1983). We construct realizations
of the wedge products of p-gons and 1-simplices containing the surfaces of
McMullen, Schulz & Wills. These realizations yield new embeddings of the
surfaces of type {p,4} in 3-space via orthogonal projections. Hence we are
able to use the method developed in Section 2.2 to get non-trivial lower bounds
on the number of moduli of these embeddings. Additionally, we are able to
realize the prisms over the surfaces in the boundaries of a 4-polytopes. Hence
we obtain embeddings of the dual surfaces of type {4,p} in the Schlegel
diagrams of the dual polytopes. For q >= 3 and p >= 4 we prove that we
cannot obtain realizations of the surfaces in the boundaries of a 4-polytopes via
projections of the corresponding wedge products.
In Chapter 5 we deal with two types of Hamiltonian surfaces in the products of
even polygons. The first family consist of regular surfaces and contains all
surfaces of type {4,p} of McMullen, Schulz & Wills (1983). The surfaces of
the second family are not regular any more, but they have arbitrarily large
vertex degree and an average polygon size arbitrarily close to 8. All these
surfaces may be embedded in 3-space via orthogonal projections of deformed
realizations of the corresponding products of polygons. A related question by
Brehm & Wills is, whether there exist embeddings of surfaces of type {p,q}
in 3-space for p > 4 and q > 4. Our realizations do not answer this
question, but yield surfaces with arbitrary vertex degree and polygon size of
approximately 8. Similar to the previous chapter we obtain lower bounds on the
number of moduli via the method of Section 2.2. Further we are again able to use
polytope duality to obtain realizations of the dual surfaces in 3-space as
well.
The starting point of Chapter 6 are the "Ukrainian easter eggs" of Eppstein
(Geometry Junkyard). These "easter eggs" are 3-dimensional zonotopes with a
central cut of asymptotically maximal size. We construct d-dimensional dual
zonotopes with n zones that have a projection to a polygon with
O(n^(d-1)) vertices. Via duality this yields d-dimensional
zonotopes on n zones with a 2-dimensional central cut with
O(n^(d-1)) vertices and edges. These zonotopes are also interesting
with respect to the arrangement method of Koltun (2006) for linear programming.
The new methods of Chapter 2 were developed together with Raman Sanyal
(Section 2.1) and Günter M. Ziegler (Section 2.2). Chapter 3 is joint work
with Raman Sanyal. The polyhedral surfaces and wedge products of Chapter 4 have
been worked out together with Günter M. Ziegler. Chapter 6 was written in
collaboration with Nikolaus Witte and Günter M. Ziegler and is published in
Discrete & Computational Geometry.
bzw. Polytopen mit besonderen kombinatorischen und geometrischen
Eigenschaften. Dabei benutzen wir Projektionen von hoch-dimensionalen Polytopen,
um besondere Einbettungen von Flächen zu erhalten. Darüberhinaus wird eine neue
Methode entwickelt mit der gezeigt wird, dass nicht alle konstruierten Flächen
oder auch Skelette von bestimmten Polytopen mittels Projektionen eingebettet
werden können.
Nach einer kurzen Einführung in Kapitel 1 stellen wir in Kapitel 2 zwei neue
Methoden vor. In Abschnitt 2.1 (Zusammenarbeit mit Raman Sanyal) erklären wir
eine Methode, die es uns ermöglicht zu zeigen, dass manche Teilkomplexe von
hoch-dimensionalen Polytopen unter Projektion nicht erhalten bleiben
können. Dazu assozieren wir einen Komplex zu dem zu erhaltenen Teilkomplex. Wenn
nun der Teilkomplex unter Projektion erhalten bleibt, dann hat dieser
assoziierte Komplex eine Einbettung in eine polytopale Sphäre. Also kann eine
solche Projektion nicht existieren, falls der assoziierte Komplex keine
Einbettung in die passende Sphäre erlaubt. In Abschnitt 2.2 (Zusammenarbeit mit
Günter M. Ziegler) beschreiben wir eine neue Methode, um den Realisierungsraum
eines einfachen Polytops zu parametrisieren. Damit erhalten wir untere Schranken
für die Dimension des Realisierungsraums von Polytopen und Komplexen, die durch
generische Projektionen von einfachen Polytopen entstehen.
In Kapitel 3 (Zusammenarbeit mit Raman Sanyal) analysieren wir die
Projizierbarkeit von Polytopskeletten. Mittels einer Spezialisierung der Methode
aus Abschnitt 2.1 können wir nun Projizierbarkeitsresultate für beliebige
Skelette von Produkten von Polygonen und Produkten von Simplizes beweisen. Dies
ergänzt die Resultate von Ziegler (2004) und Sanyal & Ziegler (2007), welche
sich mit deformierten Produkten von Polygonen mit gerader Eckenanzahl
beschäftigen.
In Kapitel 4 (Zusammenarbeit mit Günter M. Ziegler) führen wir zunächst
Keilprodukte (wedge products) von zwei Polytopen ein. Das 2-Skelett des
Keilprodukts eines p-Ecks mit einem (q-1)-Simplex enthält eine reguläre Fläche
vom Typ {p;2q}, d.h. eine reguläre Fläche aus p-Ecken und mit konstantem
Eckengrad 2q. Diese Familie von Flächen beinhaltet bereitsbekannte Flächen von
Coxeter (1937) bzw. von McMullen, Schulz & Wills (1983). Für das Keilprodukt,
welches die Flächen von McMullen, et. al. enthält, geben wir eine spezielle
deformierte Realisierung an. Diese Realisierung liefert neue Einbettungen der
Flächen vom Typ {p;4} mittels orthogonalen Projektionen in den 3-dimensionalen
Raum. Daher ist es uns möglich die Methode aus Abschnitt 2.2 zu verwenden, um
nicht triviale untere Schranken für die Freiheitsgrade unserer Einbettungen
anzugeben. Da wir auch das Prisma über der Fläche im Rand eines 4-Polytops
realisieren können, erhalten wir zusätzlich Einbettungen der dualen Flächen vom
Typ {4;p}. Für p >= 4 und q >= 3 beweisen wir, dass man mittels Projektion des
passenden Keilproduktes keine Einbettungen der Flächen im Rand eines 4-Polytops
erhalten kann.
Kapitel 5 beschäftigt sich mit zwei Familien von hamiltonschen Flächen in
Produkten von Polygonen mit gerader Eckenanzahl. Die erste Familie besteht aus
regulären Flächen und enthält alle polyedrischen Flächen vom Typ {4;q} von
McMullen, et. al. (1983). Die Flächen der zweiten Familie sind zwar nicht
regulär, aber sie haben einen beliebig hohen Eckengrad und eine
durchschnittliche Polygongröße, die sich 8 annähert. Alle diese Flächen können
durch Projektionen von deformierten Produkten im 3-dimensionalen Raum
eingebettet werden. Eine verwandte offene Frage von Brehm & Wills ist, ob es für
p > 4 und q > 4 eingebettete Flächen vom Typ {p;q} im 3-dimensionalen Raum
gibt. Die Einbettungen der zweiten Familie von Flächen im 3-dimensionalen Raum
liefern zwar keine Antwort, aber immerhin Flächen mit beliebig hohem Eckengrad
und durchschnittlicher Polygongröße von ~ 8. Wie im vorherigen Kapitel erhalten
wir eine untere Schranke für die Anzahl der Freiheitsgrade unserer
Realisierungen. Außerdem können wir wiederum Dualität von 4-Polytopen verwenden,
um Einbettungen der dualen Flächen zu erhalten.
Ausganspunkt für die Konstruktionen in Kapitel 6 (Zusammenarbeit mit Nikolaus
Witte und Günter M. Ziegler) sind die "ukrainischen Ostereier" von
Eppstein. Diese "Ostereier" sind 3-dimensionale Zonotope, die einen zentralen
Schnitt von asymptotisch maximaler Größe erlauben. Wir konstruieren duale
d-dimensionale Zonotope mit n Zonen, die als 2-dimensionale Projektionen
Polygone mit O(n^(d-1)) Ecken haben. Mittels Dualität erhalten wir daraus
d-dimensionale Zonotope mit n Zonen, die einen 2-dimensionale Schnitt mit
O(n^(d-1)) Ecken und Kanten haben.
URN: urn:nbn:de:kobv:83-opus-21451
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Rörig, Thilo
Polyhedral Surfaces, Polytopes, and Projections
Polyedrische Flächen, Polytope und Projektionen
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Kurzfassung in Englisch
The main focus of the thesis is the construction of polyhedral surfaces andpolytopes with interesting combinatorial and geometric properties. Using
projections of high-dimensional polytopes, we obtain particular embeddings of
surfaces. Furthermore we develop a new method that allows us to show, that not
all of the surfaces constructed or skeleta of particular polytopes may be
embedded in low-dimensional space using projections.
After a short introduction of the basic definitions in Chapter 1 we introduce
two new methods in Chapter 2. In Section 2.1 we explain a method that allows
us to prove that certain subcomplexes of high-dimensional polytopes cannot be
preserved by certain projections: We associate a simplicial complex embedded in
a polytopal sphere to the complex that should be preserved under projection. By
showing that this associated complex does not embed into any sphere of the
appropriate dimension we deduce that the chosen subcomplex cannot survive the
projection. In Section 2.2 we describe a new method to parametrize the
realization space of a simple polytope. Using this parametrization we obtain
lower bounds on the dimensions of the realization spaces of polytopes and
subcomplexes that are obtained via projections of simple polytopes.
In Chapter 3 we analyze the projectability of polytope skeleta. The starting
point of this investigation is the observation, that there exists no realization
of the product of two triangles such that a projection to the plane preserves
all 9 vertices. Using the method of Section 2.1 we generalize this result to
arbitrary skeleta of products of simplices and products of polygons. These
results complement previous work of Ziegler (2004) and Sanyal & Ziegler (2007)
on products of polygons.
We start Chapter 4 by defining the wedge product of two polytopes. The
2-skeleta of the wedge products of p-gons and a (q-1)-simplices contain
regular surfaces of type {p,2q}, i.e. all faces are p-gons and all
vertices have degree 2q. This family of surfaces comprises known families of
Coxeter (1937) and McMullen, Schulz & Wills (1983). We construct realizations
of the wedge products of p-gons and 1-simplices containing the surfaces of
McMullen, Schulz & Wills. These realizations yield new embeddings of the
surfaces of type {p,4} in 3-space via orthogonal projections. Hence we are
able to use the method developed in Section 2.2 to get non-trivial lower bounds
on the number of moduli of these embeddings. Additionally, we are able to
realize the prisms over the surfaces in the boundaries of a 4-polytopes. Hence
we obtain embeddings of the dual surfaces of type {4,p} in the Schlegel
diagrams of the dual polytopes. For q >= 3 and p >= 4 we prove that we
cannot obtain realizations of the surfaces in the boundaries of a 4-polytopes via
projections of the corresponding wedge products.
In Chapter 5 we deal with two types of Hamiltonian surfaces in the products of
even polygons. The first family consist of regular surfaces and contains all
surfaces of type {4,p} of McMullen, Schulz & Wills (1983). The surfaces of
the second family are not regular any more, but they have arbitrarily large
vertex degree and an average polygon size arbitrarily close to 8. All these
surfaces may be embedded in 3-space via orthogonal projections of deformed
realizations of the corresponding products of polygons. A related question by
Brehm & Wills is, whether there exist embeddings of surfaces of type {p,q}
in 3-space for p > 4 and q > 4. Our realizations do not answer this
question, but yield surfaces with arbitrary vertex degree and polygon size of
approximately 8. Similar to the previous chapter we obtain lower bounds on the
number of moduli via the method of Section 2.2. Further we are again able to use
polytope duality to obtain realizations of the dual surfaces in 3-space as
well.
The starting point of Chapter 6 are the "Ukrainian easter eggs" of Eppstein
(Geometry Junkyard). These "easter eggs" are 3-dimensional zonotopes with a
central cut of asymptotically maximal size. We construct d-dimensional dual
zonotopes with n zones that have a projection to a polygon with
O(n^(d-1)) vertices. Via duality this yields d-dimensional
zonotopes on n zones with a 2-dimensional central cut with
O(n^(d-1)) vertices and edges. These zonotopes are also interesting
with respect to the arrangement method of Koltun (2006) for linear programming.
The new methods of Chapter 2 were developed together with Raman Sanyal
(Section 2.1) and Günter M. Ziegler (Section 2.2). Chapter 3 is joint work
with Raman Sanyal. The polyhedral surfaces and wedge products of Chapter 4 have
been worked out together with Günter M. Ziegler. Chapter 6 was written in
collaboration with Nikolaus Witte and Günter M. Ziegler and is published in
Discrete & Computational Geometry.
Kurzfassung in Deutsch
Im Zentrum dieser Arbeit steht die Konstruktion von polyedrischen Flächenbzw. Polytopen mit besonderen kombinatorischen und geometrischen
Eigenschaften. Dabei benutzen wir Projektionen von hoch-dimensionalen Polytopen,
um besondere Einbettungen von Flächen zu erhalten. Darüberhinaus wird eine neue
Methode entwickelt mit der gezeigt wird, dass nicht alle konstruierten Flächen
oder auch Skelette von bestimmten Polytopen mittels Projektionen eingebettet
werden können.
Nach einer kurzen Einführung in Kapitel 1 stellen wir in Kapitel 2 zwei neue
Methoden vor. In Abschnitt 2.1 (Zusammenarbeit mit Raman Sanyal) erklären wir
eine Methode, die es uns ermöglicht zu zeigen, dass manche Teilkomplexe von
hoch-dimensionalen Polytopen unter Projektion nicht erhalten bleiben
können. Dazu assozieren wir einen Komplex zu dem zu erhaltenen Teilkomplex. Wenn
nun der Teilkomplex unter Projektion erhalten bleibt, dann hat dieser
assoziierte Komplex eine Einbettung in eine polytopale Sphäre. Also kann eine
solche Projektion nicht existieren, falls der assoziierte Komplex keine
Einbettung in die passende Sphäre erlaubt. In Abschnitt 2.2 (Zusammenarbeit mit
Günter M. Ziegler) beschreiben wir eine neue Methode, um den Realisierungsraum
eines einfachen Polytops zu parametrisieren. Damit erhalten wir untere Schranken
für die Dimension des Realisierungsraums von Polytopen und Komplexen, die durch
generische Projektionen von einfachen Polytopen entstehen.
In Kapitel 3 (Zusammenarbeit mit Raman Sanyal) analysieren wir die
Projizierbarkeit von Polytopskeletten. Mittels einer Spezialisierung der Methode
aus Abschnitt 2.1 können wir nun Projizierbarkeitsresultate für beliebige
Skelette von Produkten von Polygonen und Produkten von Simplizes beweisen. Dies
ergänzt die Resultate von Ziegler (2004) und Sanyal & Ziegler (2007), welche
sich mit deformierten Produkten von Polygonen mit gerader Eckenanzahl
beschäftigen.
In Kapitel 4 (Zusammenarbeit mit Günter M. Ziegler) führen wir zunächst
Keilprodukte (wedge products) von zwei Polytopen ein. Das 2-Skelett des
Keilprodukts eines p-Ecks mit einem (q-1)-Simplex enthält eine reguläre Fläche
vom Typ {p;2q}, d.h. eine reguläre Fläche aus p-Ecken und mit konstantem
Eckengrad 2q. Diese Familie von Flächen beinhaltet bereitsbekannte Flächen von
Coxeter (1937) bzw. von McMullen, Schulz & Wills (1983). Für das Keilprodukt,
welches die Flächen von McMullen, et. al. enthält, geben wir eine spezielle
deformierte Realisierung an. Diese Realisierung liefert neue Einbettungen der
Flächen vom Typ {p;4} mittels orthogonalen Projektionen in den 3-dimensionalen
Raum. Daher ist es uns möglich die Methode aus Abschnitt 2.2 zu verwenden, um
nicht triviale untere Schranken für die Freiheitsgrade unserer Einbettungen
anzugeben. Da wir auch das Prisma über der Fläche im Rand eines 4-Polytops
realisieren können, erhalten wir zusätzlich Einbettungen der dualen Flächen vom
Typ {4;p}. Für p >= 4 und q >= 3 beweisen wir, dass man mittels Projektion des
passenden Keilproduktes keine Einbettungen der Flächen im Rand eines 4-Polytops
erhalten kann.
Kapitel 5 beschäftigt sich mit zwei Familien von hamiltonschen Flächen in
Produkten von Polygonen mit gerader Eckenanzahl. Die erste Familie besteht aus
regulären Flächen und enthält alle polyedrischen Flächen vom Typ {4;q} von
McMullen, et. al. (1983). Die Flächen der zweiten Familie sind zwar nicht
regulär, aber sie haben einen beliebig hohen Eckengrad und eine
durchschnittliche Polygongröße, die sich 8 annähert. Alle diese Flächen können
durch Projektionen von deformierten Produkten im 3-dimensionalen Raum
eingebettet werden. Eine verwandte offene Frage von Brehm & Wills ist, ob es für
p > 4 und q > 4 eingebettete Flächen vom Typ {p;q} im 3-dimensionalen Raum
gibt. Die Einbettungen der zweiten Familie von Flächen im 3-dimensionalen Raum
liefern zwar keine Antwort, aber immerhin Flächen mit beliebig hohem Eckengrad
und durchschnittlicher Polygongröße von ~ 8. Wie im vorherigen Kapitel erhalten
wir eine untere Schranke für die Anzahl der Freiheitsgrade unserer
Realisierungen. Außerdem können wir wiederum Dualität von 4-Polytopen verwenden,
um Einbettungen der dualen Flächen zu erhalten.
Ausganspunkt für die Konstruktionen in Kapitel 6 (Zusammenarbeit mit Nikolaus
Witte und Günter M. Ziegler) sind die "ukrainischen Ostereier" von
Eppstein. Diese "Ostereier" sind 3-dimensionale Zonotope, die einen zentralen
Schnitt von asymptotisch maximaler Größe erlauben. Wir konstruieren duale
d-dimensionale Zonotope mit n Zonen, die als 2-dimensionale Projektionen
Polygone mit O(n^(d-1)) Ecken haben. Mittels Dualität erhalten wir daraus
d-dimensionale Zonotope mit n Zonen, die einen 2-dimensionale Schnitt mit
O(n^(d-1)) Ecken und Kanten haben.
| Freie Schlagwörter (deutsch): | Polytope , Polyedrische Flächen , Projektionen , topologische Obstruktionen , Zonotope | |
| Freie Schlagwörter (englisch): | polytopes , polyhedral surfaces , projections , topological obstructions , zonotopes | |
| Institut: | Institut für Mathematik | |
| Fakultät: | Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften | |
| DDC-Sachgruppe: | Mathematik | |
| Dokumentart: | Dissertation | |
| Hauptberichter: | Ziegler, Günter M. (Prof.) | |
| Sprache: | Englisch | |
| Tag der mündlichen Prüfung: | 30.09.2008 | |
| Erstellungsjahr: | 2008 | |
| Publikationsdatum: | 30.01.2009 | |
| Lizenz: | Minimallizenz mit PoD (Print-on-Demand): Typ Dissertation |
