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URN: urn:nbn:de:kobv:83-opus-17649
URL: http://opus.kobv.de/tuberlin/volltexte/2008/1764/
Bücking, Ulrike
colored black and white there is an associated isoradial circle pattern
C_1 with centers of circles at white vertices and radii equal to
the edge length. Let C_2 be another circle pattern such that the
rhombi correspond to kites of intersecting circles with the same intersection
angles. We consider the mapping g_C which maps the centers of
circles and the intersection points to the corresponding points and which is an
affine map on the rhombi.
Let g be a locally injective holomorphic function. We specify the circle
pattern C_2 by prescribing the radii or the angles on the boundary
corresponding to values of log(g'). We show that g_C approximates
g and its first derivative uniformly on compact subsets and that a suitably
normalized sequence converges to g if the radii of C_1 converge
to 0. In particular, we study the case that C_1 is a
quasicrystallic circle pattern, that is the number of different edge directions
of the rhombic embedding is bounded by a fixed constant (for the whole
sequence). For a class of such circle patterns we prove the convergence of
discrete partial derivatives of arbitrary order to the corresponding continuous
derivatives of g. For this purpose we use a discrete version of Hölder's
inequality and a discrete regularity lemma for solutions of elliptic
differential equations.
Furthermore, we consider the special case of regular circle patterns with the
combinatorics of the square grid and two (different) intersection angles, which
correspond to the two different edge directions. We show the uniqueness of the
embedded infinite circle pattern (up to similarities) and prove an estimation
for the quotients of radii of neighboring circles of such an (finite) circle
pattern with error of order $1/$combinatorial distance of the circle to the
boundary. We also carry this result over to certain classes of quasicrystallic
circle patterns.
In addition, we study the Z^a-circle patterns with the combinatorics of
the square grid and regular intersection angles for 0<a<2. We prove
the uniqueness (up to scaling) of such embedded circle patterns which cover a
corresponding sector of the plane, subject to some conditions on the
intersection angles and a. Similar results are also shown for some
classes of quasicrystallic Z^a-circle patterns.
For the case of orthogonal circle patterns with the combinatorics of the square
grid we consider the problem to approximate an homeomorphism of a square onto a
kite which is conformal in the interior and maps the corner points of the
square to the corner points of the kite. We prove uniform convergence on the
square and convergence of all discrete derivatives on compact sets which do not
contain any of the corner points. This result is generalized for other
polygonal domains and stereographic projections of spherical polygonal domains
which are bounded by arcs of great circles and contained in an open
half-sphere of the unit sphere. As a consequence, we prove the convergence of
S-isothermic discrete minimal surfaces to the corresponding smooth minimal
surfaces away from nodal points.
Furthermore, we construct examples of S-isothermic discrete minimal surfaces.
und schwarz-weiß gefärbten Knoten gehört ein isoradiales Kreismuster
C_1 mit Mittelpunkten in den weißen Knoten und Radien gleich der
Kantenlänge. Für ein weiteres Kreismuster C_2, bei dem den
Rhomben Drachen von sich schneidenden Kreisen mit denselben Schnittwinkeln
entsprechen, betrachten wir die Abbildung g_C, die entsprechende
Mittelpunkte und Schnittpunkte der Kreismuster aufeinander abbildet und affin
auf den Rhomben ist.
Für eine lokal injektive holomorphe Funktion g bestimmen wir das Kreismuster
C_2 durch die Vorgabe von Radien oder Winkeln am Rand mit Hilfe von
log(g'). Wir zeigen, dass g_C die Abbildung g und ihre
Ableitung gleichmäßig auf kompakten Teilmengen approximiert und eine
geeignet normierte Folge solcher Abbildungen gegen g konvergiert, falls die
Radien von C_1 gegen 0 konvergieren. Insbesondere untersuchen wir
den Fall, dass C_1 ein quasikristallisches Kreismuster ist, d.h.
die Anzahl der verschiedenen Kantenrichtungen der rhombischen Einbettung ist
durch eine feste Konstante beschränkt (für die gesamte Folge). Für eine
Klasse solcher Kreismuster beweisen wir die Konvergenz diskreter partieller
Ableitungen beliebiger Ordnung gegen die entsprechenden kontinuierlichen
Ableitungen von g. Dafür verwenden wir eine diskrete Hölderungleichung und
ein diskretes Regularitätslemma für Lösungen elliptischer
Differentialgleichungen.
Außerdem betrachten wir den Spezialfall regelmäßiger Kreismuster mit
Quadratgitterkombinatorik und zwei (verschiedenen) Schnittwinkeln, die den zwei
Kantenrichtungen entprechen. Wir zeigen die Eindeutigkeit des eingebetteten
unendlichen Kreismusters (bis auf Ähnlichkeitstransformationen) und beweisen
eine Abschätzung für die Radienquotienten für benachbarte Kreise eines
solchen (endlichen) Kreismuster mit Fehler der Ordnung 1/kombinatorischen
Abstand der Kreise zum Rand. Dieses Ergebnis übertragen wir auch auf gewisse
Klassen quasikristallischer Kreismuster.
Ferner untersuchen wir die Z^a-Kreismuster mit Quadratgitterkombinatorik
und regelmäßigen Schnittwinkeln für 0<a<2. Wir beweisen die
Eindeutigkeit (bis auf Skalierung) solcher eingebetteter Kreismuster, die einen
entsprechenenden Sektor der Ebene überdecken, unter bestimmten Bedingungen an
die Schnittwinkel und a. Ähnliche Aussagen zeigen wir auch für
einige Klassen quasikristallischer Z^a-Kreismuster.
Für den Fall orthogonaler Kreismuster mit Quadratgitterkombinatorik
betrachten wir das Problem, den im Inneren konformen Homeomorphismus eines
Quadrates auf einen Drachen zu approximieren, der die Eckpunkte aufeinander
abbildet. Wir beweisen gleichmäßige Konvergenz auf dem Quadrat und
Konvergenz aller diskreter Ableitungen auf kompakten Mengen, die keinen der
Eckpunkte enthalten. Dieses Ergebnis verallgemeinern wir für andere
polygonale Gebiete und stereographische Projektionen sphärischer polygonaler
Gebiete, die von Großkreisbögen begrenzt werden und in einer offenen
Halbsphäre der Einheitssphäre liegen. Als Folgerung beweisen wir die Konvergenz von S-isothermen diskreten Minimalflächen außerhalb von Nabelpunkten gegen
entsprechende glatte Minimalflächen. Des Weiteren konstruieren wir Beispiele
von S-isothermen diskreten Minimalflächen.
URN: urn:nbn:de:kobv:83-opus-17649
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Bücking, Ulrike
Approximation of conformal mappings by circle patterns and discrete minimal surfaces
Approximation konformer Abbildungen durch Kreismuster und diskrete Minimalflächen
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Kurzfassung in Englisch
To a rhombic embedding of a planar graph with quadrilateral faces and verticescolored black and white there is an associated isoradial circle pattern
C_1 with centers of circles at white vertices and radii equal to
the edge length. Let C_2 be another circle pattern such that the
rhombi correspond to kites of intersecting circles with the same intersection
angles. We consider the mapping g_C which maps the centers of
circles and the intersection points to the corresponding points and which is an
affine map on the rhombi.
Let g be a locally injective holomorphic function. We specify the circle
pattern C_2 by prescribing the radii or the angles on the boundary
corresponding to values of log(g'). We show that g_C approximates
g and its first derivative uniformly on compact subsets and that a suitably
normalized sequence converges to g if the radii of C_1 converge
to 0. In particular, we study the case that C_1 is a
quasicrystallic circle pattern, that is the number of different edge directions
of the rhombic embedding is bounded by a fixed constant (for the whole
sequence). For a class of such circle patterns we prove the convergence of
discrete partial derivatives of arbitrary order to the corresponding continuous
derivatives of g. For this purpose we use a discrete version of Hölder's
inequality and a discrete regularity lemma for solutions of elliptic
differential equations.
Furthermore, we consider the special case of regular circle patterns with the
combinatorics of the square grid and two (different) intersection angles, which
correspond to the two different edge directions. We show the uniqueness of the
embedded infinite circle pattern (up to similarities) and prove an estimation
for the quotients of radii of neighboring circles of such an (finite) circle
pattern with error of order $1/$combinatorial distance of the circle to the
boundary. We also carry this result over to certain classes of quasicrystallic
circle patterns.
In addition, we study the Z^a-circle patterns with the combinatorics of
the square grid and regular intersection angles for 0<a<2. We prove
the uniqueness (up to scaling) of such embedded circle patterns which cover a
corresponding sector of the plane, subject to some conditions on the
intersection angles and a. Similar results are also shown for some
classes of quasicrystallic Z^a-circle patterns.
For the case of orthogonal circle patterns with the combinatorics of the square
grid we consider the problem to approximate an homeomorphism of a square onto a
kite which is conformal in the interior and maps the corner points of the
square to the corner points of the kite. We prove uniform convergence on the
square and convergence of all discrete derivatives on compact sets which do not
contain any of the corner points. This result is generalized for other
polygonal domains and stereographic projections of spherical polygonal domains
which are bounded by arcs of great circles and contained in an open
half-sphere of the unit sphere. As a consequence, we prove the convergence of
S-isothermic discrete minimal surfaces to the corresponding smooth minimal
surfaces away from nodal points.
Furthermore, we construct examples of S-isothermic discrete minimal surfaces.
Kurzfassung in Deutsch
Zu einer rhombischen Einbettung eines planaren Graphen mit viereckigen Flächenund schwarz-weiß gefärbten Knoten gehört ein isoradiales Kreismuster
C_1 mit Mittelpunkten in den weißen Knoten und Radien gleich der
Kantenlänge. Für ein weiteres Kreismuster C_2, bei dem den
Rhomben Drachen von sich schneidenden Kreisen mit denselben Schnittwinkeln
entsprechen, betrachten wir die Abbildung g_C, die entsprechende
Mittelpunkte und Schnittpunkte der Kreismuster aufeinander abbildet und affin
auf den Rhomben ist.
Für eine lokal injektive holomorphe Funktion g bestimmen wir das Kreismuster
C_2 durch die Vorgabe von Radien oder Winkeln am Rand mit Hilfe von
log(g'). Wir zeigen, dass g_C die Abbildung g und ihre
Ableitung gleichmäßig auf kompakten Teilmengen approximiert und eine
geeignet normierte Folge solcher Abbildungen gegen g konvergiert, falls die
Radien von C_1 gegen 0 konvergieren. Insbesondere untersuchen wir
den Fall, dass C_1 ein quasikristallisches Kreismuster ist, d.h.
die Anzahl der verschiedenen Kantenrichtungen der rhombischen Einbettung ist
durch eine feste Konstante beschränkt (für die gesamte Folge). Für eine
Klasse solcher Kreismuster beweisen wir die Konvergenz diskreter partieller
Ableitungen beliebiger Ordnung gegen die entsprechenden kontinuierlichen
Ableitungen von g. Dafür verwenden wir eine diskrete Hölderungleichung und
ein diskretes Regularitätslemma für Lösungen elliptischer
Differentialgleichungen.
Außerdem betrachten wir den Spezialfall regelmäßiger Kreismuster mit
Quadratgitterkombinatorik und zwei (verschiedenen) Schnittwinkeln, die den zwei
Kantenrichtungen entprechen. Wir zeigen die Eindeutigkeit des eingebetteten
unendlichen Kreismusters (bis auf Ähnlichkeitstransformationen) und beweisen
eine Abschätzung für die Radienquotienten für benachbarte Kreise eines
solchen (endlichen) Kreismuster mit Fehler der Ordnung 1/kombinatorischen
Abstand der Kreise zum Rand. Dieses Ergebnis übertragen wir auch auf gewisse
Klassen quasikristallischer Kreismuster.
Ferner untersuchen wir die Z^a-Kreismuster mit Quadratgitterkombinatorik
und regelmäßigen Schnittwinkeln für 0<a<2. Wir beweisen die
Eindeutigkeit (bis auf Skalierung) solcher eingebetteter Kreismuster, die einen
entsprechenenden Sektor der Ebene überdecken, unter bestimmten Bedingungen an
die Schnittwinkel und a. Ähnliche Aussagen zeigen wir auch für
einige Klassen quasikristallischer Z^a-Kreismuster.
Für den Fall orthogonaler Kreismuster mit Quadratgitterkombinatorik
betrachten wir das Problem, den im Inneren konformen Homeomorphismus eines
Quadrates auf einen Drachen zu approximieren, der die Eckpunkte aufeinander
abbildet. Wir beweisen gleichmäßige Konvergenz auf dem Quadrat und
Konvergenz aller diskreter Ableitungen auf kompakten Mengen, die keinen der
Eckpunkte enthalten. Dieses Ergebnis verallgemeinern wir für andere
polygonale Gebiete und stereographische Projektionen sphärischer polygonaler
Gebiete, die von Großkreisbögen begrenzt werden und in einer offenen
Halbsphäre der Einheitssphäre liegen. Als Folgerung beweisen wir die Konvergenz von S-isothermen diskreten Minimalflächen außerhalb von Nabelpunkten gegen
entsprechende glatte Minimalflächen. Des Weiteren konstruieren wir Beispiele
von S-isothermen diskreten Minimalflächen.
| Freie Schlagwörter (deutsch): | Kreismuster , Konvergenz , konforme Abbildungen , diskreter Laplaceoperator , diskrete Minimalflächen | |
| Freie Schlagwörter (englisch): | circle pattern , convergence , conformal mappings , discrete Laplacian , discrete minimal surfaces | |
| Institut: | Institut für Mathematik | |
| Fakultät: | Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften | |
| DDC-Sachgruppe: | Mathematik | |
| Dokumentart: | Dissertation | |
| Hauptberichter: | Bobenko, Alexander I. (Prof. Dr.) | |
| Sprache: | Englisch | |
| Tag der mündlichen Prüfung: | 14.12.2007 | |
| Erstellungsjahr: | 2007 | |
| Publikationsdatum: | 14.02.2008 | |
| Lizenz: | Minimallizenz mit PoD (Print-on-Demand): Typ Dissertation |
