URN: urn:nbn:de:kobv:83-opus-8422
URL: http://opus.kobv.de/tuberlin/volltexte/2004/842/
Peters, Günter Paul
Soliton Spheres
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Kurzfassung in Deutsch
Abstract in DeutschIn der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme holomorpher Schnitte quaternionisch holomorpher Linienbündel über kompakten Riemannschen Flächen, für die Gleichheit in der Plückerungleichung gilt, untersucht. Es wird gezeigt, dass zu jedem $(n+1)$--dimensionalen linearen System mit Gleichheit in der quaternionischen Plückerungleichung eine komplex holomorphe Kurve in $CP^{2n+1}$ gehört, und dass das lineare System aus der komplex holomorphen Kurve in $CP^{2n+1}$ durch Differentiation und algebraische Umformungen konstruiert werden kann.
Das Hauptinteresse der Arbeit gilt den Solitonensphären. Das sind Flächen, die durch verzweigte konforme Immersionen von $CP^1$ in die Quaternionen beschrieben werden, die sich als Quotient von zwei holomorphen Schnitten eines linearen Systems mit Gleichheit in der Plückerungleichung schreiben lassen.
Es wird gezeigt, dass die Taimanovschen Solitonensphären die in der Arbeit gegebene unter Möbiustransformationen invariante Definition von Solitonensphären erfüllen. Es wird bewiesen, dass das Willmorefunktional von immersierten Solitonensphären im $R^3$ von der Form $4pi n$ mit $nin{1,4,6,7,8,9,10,11,ldots}$ ist. Es wird gezeigt, dass alle Willmoresphären Solitonensphären sind. Es wird eine algebraische Konstruktion (Twistorprojektion und Bäcklundtransformation) beschrieben, mit der sich alle Willmoresphären im $R^4$ aus jeweils vier Polynomen konstruieren lassen. Darüber hinaus wird die Bedingung beschrieben, die die Polynome erfüllen müssen, damit die konstruierten Willmoresphären im $R^3$ liegen.
Schließlich wird gezeigt das eine abzählbare Teilfamilie der zum Katenoid im 3--dimensionalen hyperbolischen Raum gehörenden Flächen konstanter mittlerer Krümmung $-1$ (CMC-1) glatte Enden hat, und dass diese Flächen Taimanovsche Solitonensphären sind. Die Interpretation von Robert Bryants Konstruktion von CMC-1 Flächen als Darbouxtransformation der runden Sphäre erweist sich dabei als sehr nützlich.
Kurzfassung in Englisch
Abstract in EnglishLinear systems of quaternionic holomorphic line bundles over compact Riemann surfaces with equality in the quaternionic Plücker estimate are studied in this thesis. It is shown that to every $(n+1)$--dimensional linear system with equality corresponds a complex holomorphic curve in $CP^{2n+1}$, and, conversely, the linear system can be reconstructed from the complex holomorphic curve in $CP^{2n+1}$ via differentiation and algebraic transformations.
This thesis focuses on soliton spheres, i.e., branched conformal immersion of $CP^1$ into the field of quaternions that are quotients of holomorphic sections of a linear system with equality in the quaternionic Plücker estimate.
It is shown that the Taimanov soliton spheres are soliton spheres in the sense of this thesis. It is shown that the Willmore energy of immersed soliton spheres in $R^3$ is of the form $4pi n$ for some $nin{1,4,6,7,8,9,10,11,ldots}$. An algebraic construction (twistor projection and Bäcklund transformation) for all Willmore spheres in $R^4$ from four polynomials is described, and the condition on the polynomials that correspond to Willmore spheres in $R^3$ is given.
Finally, it is shown that a countable subset of the CMC-1 catenoid cousins has smooth ends, and that these surfaces are Taimanov soliton spheres. For this the description of Robert Bryants construction of CMC-1 surfaces as Darboux transformation of the round sphere is important.
| Freie Schlagwörter (deutsch): | Solitonensphären, Willmoreenergie, CMC-1 mit glatten Enden, quaternionische Flächen Theorie, quaternionische Plückerungleichung, Bäcklundtransform | |
| Freie Schlagwörter (englisch): | soliton spheres, Willmore energy, CMC-1 with smooth ends, quaternionic surface theory, quaternionic Plücker formula, Bäcklund transformation, Darbou | |
| Institut: | Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften -ohne Zuordnung zu einem Institut- | |
| Fakultät: | Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften | |
| DDC-Sachgruppe: | Mathematik | |
| Dokumentart: | Dissertation | |
| Hauptberichter: | Betreuer: Pinkall, Ulrich; Prof. Dr. Gutachter: Pinkall, Ulrich; Prof. Dr. | Ferus, Dirk; Prof. Dr. | |
| Sprache: | Englisch | |
| Tag der mündlichen Prüfung: | 28.05.2004 | |
| Erstellungsjahr: | 2004 | |
| Publikationsdatum: | 26.07.2004 | |
| Lizenz: | Minimallizenz mit PoD (Print-on-Demand): Typ Dissertation |
